Chuyển từ một phương trình đơn $f(x)=0$ sang hệ phương trình nhiều biến là cánh cửa dẫn đến việc giải các bài toán kỹ thuật phức tạp, từ cơ học quỹ đạo đến phân tích cấu trúc đất. Chúng ta không còn tìm nghiệm bằng cách đơn giản trên một đường thẳng, mà tìm điểm giao nhau đồng thời của $n$ siêu mặt trong không gian $n$ chiều.
1. Cấu trúc Toán học
Một hệ phương trình phi tuyến được biểu diễn dưới dạng tập hợp các phương trình, trong đó mỗi hàm thành phần phụ thuộc vào một vectơ các ẩn số $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^t$:
$$f_1(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$ $$f_2(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$ $$\vdots$$ $$f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$
Chúng ta rút gọn điều này thành dạng vectơ: công thức cốt lõi:
$$\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$$
trong đó $\mathbf{F} = (f_1, f_2, \dots, f_n)^t$. Các hàm riêng lẻ $f_i$ được gọi là hàm tọa độ của $\mathbf{F}$.
2. Cơ sở Phân tích và Tính Liên tục
Để giải các hệ này theo phương pháp số, chúng ta phải đảm bảo phép ánh xạ là ổn định. Các định nghĩa 10.1–10.3 khẳng định rằng giới hạn và tính liên tục trong $\mathbb{R}^n$ được xác định theo từng thành phần.
Giả sử $\mathbf{F}$ là một hàm từ $D \subset \mathbb{R}^n$ vào $\mathbb{R}^n$. Ta nói $\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0} \mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{L} = (L_1, L_2, \dots, L_n)^t$ nếu và chỉ nếu:
$$\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0} f_i(\mathbf{x}) = L_i$$ với mỗi $i=1, \dots, n$.
Sử dụng định nghĩa $\epsilon-\delta$: với mọi $\epsilon > 0$, tồn tại $\delta > 0$ sao cho $\|\mathbf{F}(\mathbf{x}) - \mathbf{L}\| < \epsilon$ bất cứ khi nào $0 < \|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \delta$.
3. Ôn tập Lý thuyết
Định lý 1.6: Đối với các hàm từ $\mathbb{R}$ vào $\mathbb{R}$, tính liên tục thường có thể chứng minh bằng cách chỉ ra tính khả vi. Trong trường hợp nhiều biến, nếu các đạo hàm riêng của các hàm tọa độ tồn tại và bị chặn, thì tính liên tục được đảm bảo, đây là điều kiện tiên quyết cho các bộ giải lặp.
Ví dụ kinh điển: Ví dụ 1
Xét bài toán tấm tròn chìm xuống đất. Hãy viết hệ phương trình phi tuyến $3 \times 3$ ở dạng chuẩn $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$:
- $3x_1 - \cos(x_2 x_3) - \frac{1}{2} = 0$
- $x_1^2 - 81(x_2 + 0.1)^2 + \sin x_3 + 1.06 = 0$
- $e^{-x_1 x_2} + 20x_3 + \frac{10\pi - 3}{3} = 0$
Ở đây, $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)^t$ và $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = (f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x}), f_3(\mathbf{x}))^t$.